수학 공식 탐험
현재 201개 공식 수록 · 초등~대학
덧셈
두 수를 합쳐서 전체 개수를 구해
뺄셈
전체에서 일부를 빼면 나머지가 나와
덧셈과 뺄셈의 관계
덧셈식을 알면 뺄셈식도 바로 알 수 있어
곱셈구구
같은 수를 여러 번 더하는 빠른 방법
곱셈
두 자리 수끼리도 자릿값으로 나누면 쉽게 곱할 수 있어
나눗셈
똑같이 나누면 한 몫이 얼마인지 알 수 있어
곱셈과 나눗셈의 관계
곱셈식을 알면 나눗셈식도 바로 알 수 있어
어림셈
정확하지 않아도 대략 얼마인지 빠르게 알 수 있어
분수
전체를 똑같이 나눈 것 중 일부를 나타내는 수
소수
1보다 작은 양을 점(.)으로 나타내는 수
분수의 덧셈과 뺄셈 (같은 분모)
분모가 같으면 분자끼리만 더하거나 빼면 돼
소수의 덧셈과 뺄셈
소수점 자리를 맞춰서 더하거나 빼면 돼
자연수의 혼합 계산
괄호 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈 순서로 계산해
수의 범위
이상, 이하, 초과, 미만으로 수의 범위를 나타내
최대공약수
두 수의 공통 약수 중 가장 큰 수
최소공배수
두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수
약분과 통분
분수의 크기를 바꾸지 않고 분모를 같게 만들어
분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈
분모를 같게 만든 다음 분자끼리 더하거나 빼
분수의 곱셈
분자끼리 곱하고, 분모끼리 곱하면 돼
분수의 나눗셈
나누는 분수를 뒤집어서 곱하면 돼
소수의 곱셈
소수점 아래 자릿수만큼 소수점을 옮겨
소수의 나눗셈
소수를 자연수처럼 나눈 뒤 소수점을 내려
대응 관계
두 양 사이의 규칙을 식으로 나타내
비율
기준량에 대한 비교하는 양의 크기
백분율
비율을 100을 기준으로 나타낸 것
비례식
두 비가 같을 때 안쪽 곱 = 바깥쪽 곱
비례배분
전체를 주어진 비로 나누는 방법
각도
두 직선이 만나서 벌어진 정도를 숫자로 나타내
삼각형의 내각의 합
어떤 삼각형이든 세 각의 합은 항상 180°
사각형의 내각의 합
어떤 사각형이든 네 각의 합은 항상 360°
직사각형의 둘레
가로와 세로를 더한 뒤 2배하면 둘레가 나와
직사각형의 넓이
가로 × 세로 = 직사각형 넓이
정사각형의 넓이
한 변의 길이를 자기 자신과 곱하면 넓이
평행사변형의 넓이
비스듬한 도형도 잘라 붙이면 직사각형이 돼
삼각형의 넓이
직사각형의 딱 절반! ÷2를 잊지 마
사다리꼴의 넓이
윗변과 아랫변을 더한 뒤 높이를 곱하고 ÷2
마름모의 넓이
두 대각선을 곱하고 ÷2하면 마름모 넓이
원주율
어떤 원이든 둘레÷지름은 항상 3.14...
원의 둘레 (원주)
지름에 3.14를 곱하면 원의 둘레
원의 넓이
반지름 × 반지름 × 3.14 = 원의 넓이
직육면체의 겉넓이
여섯 면의 넓이를 모두 더한 것
직육면체의 부피
가로 × 세로 × 높이 = 입체의 크기
평균
여러 수를 고르게 나누면 평균
넓이 단위
넓이는 길이 단위의 제곱으로 나타내
부피 단위
부피는 길이 단위의 세제곱으로 나타내
길이 단위
km, m, cm, mm 사이의 관계
들이 단위
액체의 양을 재는 단위
무게 단위
무거운 것과 가벼운 것을 재는 단위
가능성
일이 일어날 수 있는 정도를 숫자로 나타내
시각과 시간
시간은 60진법! 1시간=60분, 1분=60초
정수 덧셈 부호 규칙
같은 부호끼리 더하면 부호는 그대로, 절댓값끼리 더한다
정수 뺄셈→덧셈 변환
뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꿔서 더하는 것과 같다
정수 곱셈 부호 규칙
같은 부호끼리 곱하면 양수, 다른 부호끼리 곱하면 음수
절댓값
절댓값은 수직선 위에서 0까지의 거리
유리수 사칙연산
분수의 덧셈은 통분, 곱셈은 분자×분자·분모×분모
유한소수와 순환소수
기약분수의 분모가 2와 5만의 곱이면 유한소수, 아니면 순환소수
지수법칙 — 곱
밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수끼리 더한다
지수법칙 — 나눗셈
밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 지수끼리 뺀다
지수법칙 — 거듭제곱의 거듭제곱
거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱한다
소인수분해
모든 자연수는 소수의 곱으로 유일하게 분해된다
제곱근의 정의
제곱해서 a가 되는 양수를 a의 양의 제곱근이라 한다
제곱근의 성질
제곱근의 곱과 나눗셈은 근호 안에서 처리할 수 있다
제곱근 덧셈 (동류항)
근호 안이 같은 제곱근끼리만 더하고 뺄 수 있다
분모의 유리화
분모의 근호를 없애기 위해 분자·분모에 같은 제곱근을 곱한다
단항식의 곱셈
계수끼리 곱하고, 같은 문자의 지수끼리 더한다
일차식의 동류항 정리
문자 부분이 같은 항끼리 계수를 합친다
일차방정식
등호 양변에 같은 연산을 해서 미지수를 구한다
곱셈공식 — 합의 제곱
합의 제곱은 제곱의 합 + 두 배의 곱
곱셈공식 — 차의 제곱
차의 제곱은 제곱의 합 - 두 배의 곱
곱셈공식 — 합차
합과 차의 곱은 제곱의 차
곱셈공식 — (x+a)(x+b)
x계수는 a+b, 상수항은 ab
인수분해 — 공통인수 묶기
모든 항에 공통으로 들어있는 인수를 괄호 밖으로 꺼낸다
인수분해 — 완전제곱식
합(차)의 제곱 형태를 역으로 인수분해
인수분해 — 합차 공식
제곱의 차는 합과 차의 곱으로 인수분해
연립방정식 — 가감법
두 식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없앤다
연립방정식 — 대입법
한 식을 다른 식에 대입하여 미지수를 줄인다
이차방정식 — 인수분해 풀이
이차식을 인수분해한 뒤 각 인수=0으로 근을 구한다
근의 공식
이차방정식 ax²+bx+c=0의 해를 직접 구하는 만능 공식
집합
부분집합, 합집합, 교집합 등 집합의 기본 연산
일차부등식
일차부등식의 풀이와 해의 범위 표현
일차함수 y = ax + b
일차함수는 그래프가 직선이고, a는 기울기, b는 y절편
기울기 공식
두 점을 알면 기울기를 계산할 수 있다
x절편과 y절편
그래프가 x축, y축과 만나는 점
일차방정식의 활용
실생활 문제를 일차방정식으로 세워 푸는 방법
이차함수 기본형 y = ax²
이차함수의 가장 기본 형태, 원점이 꼭짓점인 포물선
이차함수 표준형 y = a(x-p)² + q
y=ax²을 x축으로 p, y축으로 q만큼 평행이동한 형태
이차함수의 꼭짓점
일반형 y=ax²+bx+c에서 꼭짓점 좌표를 구하는 방법
이차함수의 최댓값/최솟값
이차함수의 꼭짓점이 최댓값 또는 최솟값이 된다
반비례 함수 y = k/x
x가 커지면 y가 작아지는 함수, 그래프는 쌍곡선
정비례와 반비례 판별
비례 상수 a 또는 k로 정비례·반비례를 판별한다
연립방정식의 활용
미지수가 2개인 실생활 문제를 연립방정식으로 세워 푸는 방법
삼각형의 합동 조건
두 삼각형이 합동이 되기 위한 세 가지 조건
이등변삼각형의 성질
이등변삼각형에서 두 밑변의 각이 같다
평행사변형의 성질
평행사변형에서 마주보는 변은 평행하고 길이가 같다
피타고라스 정리
직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다
피타고라스 수
피타고라스 정리를 만족하는 자연수 세 쌍 (3,4,5), (5,12,13) 등
도수분포표와 히스토그램
자료를 계급으로 나누고 도수를 정리하여 히스토그램으로 나타낸다
닮음비와 넓이비
닮음비가 k이면 넓이비는 k²이다
닮음비와 부피비
닮음비가 k이면 부피비는 k³이다
평행선과 선분의 비
삼각형에서 한 변에 평행한 직선이 나머지 두 변을 같은 비로 나눈다
원주각과 중심각
같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반이다
접선의 길이
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다
상대도수
각 계급의 도수를 전체 도수로 나눈 비율
삼각비의 정의
직각삼각형에서 각의 크기에 따라 결정되는 세 가지 비율
특수각의 삼각비
30°, 45°, 60°에서의 삼각비 값은 정확한 무리수로 표현된다
삼각비 활용 (높이 구하기)
거리와 각도를 알 때 높이를 구하는 삼각비 활용 공식
구의 부피
반지름 r인 구의 부피를 구하는 공식
구의 겉넓이
반지름 r인 구의 겉넓이를 구하는 공식
원기둥의 겉넓이
원기둥의 겉넓이 = 위아래 원 2개 + 옆면(직사각형)
원뿔의 부피
원뿔의 부피는 같은 밑면·높이의 원기둥 부피의 1/3이다
원뿔의 겉넓이
원뿔의 겉넓이 = 밑면 원 + 옆면(부채꼴)
중앙값과 최빈값
자료의 대표값으로 평균 외에 중앙값과 최빈값을 사용한다
평행선의 성질: 동위각과 엇각
두 평행선을 만나는 직선(횡단선)이 만드는 동위각은 같고, 엇각도 같다
삼각형의 외각
삼각형의 한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같다
다각형 내각의 합
n각형의 내각의 합은 180°×(n-2)이다
다각형 외각의 합
모든 볼록 다각형의 외각의 합은 항상 360°이다
호의 길이
중심각에 비례하는 원의 일부(호)의 길이
부채꼴의 넓이
원 넓이에서 중심각 비율만큼이 부채꼴 넓이
정사각형의 대각선
한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이는 a√2
직사각형의 대각선
가로 a, 세로 b인 직사각형의 대각선 길이
경우의 수 합의 법칙
동시에 일어나지 않는 두 사건의 경우의 수는 각각의 합
경우의 수 곱의 법칙
연이어 일어나는 두 사건의 경우의 수는 각각의 곱
분산과 표준편차
자료가 평균으로부터 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 값
산점도와 상관관계
두 변량 사이의 관계를 산점도로 나타내고 상관관계를 파악한다
확률의 기본 성질
모든 사건의 확률은 0 이상 1 이하
여사건의 확률
사건 A가 일어나지 않을 확률은 1에서 P(A)를 빼면 된다
다항식의 덧셈과 뺄셈
동류항끼리 모아서 계수를 더하거나 빼는 연산
다항식의 곱셈
분배법칙을 이용해 각 항끼리 모두 곱하여 전개하는 연산
곱셈공식
합의 제곱, 차의 제곱, 합차곱 등 자주 쓰이는 전개 공식
인수분해 (고등)
다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 분해하는 변환
나머지 정리
다항식 f(x)를 (x-a)로 나눈 나머지는 f(a)와 같다
인수 정리
f(a)=0이면 (x-a)가 f(x)의 인수이고, 그 역도 성립한다
복소수
실수와 허수를 결합한 수 체계로, i²=-1을 만족하는 허수단위 i를 도입
이차방정식의 판별식
이차방정식 ax²+bx+c=0의 근의 종류를 판별하는 식
근과 계수의 관계
이차방정식의 두 근의 합과 곱을 계수로부터 바로 구하는 관계식
이차함수와 이차방정식
이차함수의 그래프와 x축의 교점이 이차방정식의 근이다
절댓값 함수
x가 양수이면 그대로, 음수이면 부호를 바꾸어 항상 0 이상의 값을 출력하는 함수
시그마 기호
여러 항의 합을 간결하게 나타내는 시그마(Σ) 기호의 뜻과 사용법
여러 가지 부등식
이차부등식과 연립부등식의 해를 구하는 방법
절댓값 부등식
절댓값을 포함한 부등식의 해를 구간으로 표현하는 방법 (절댓값을 포함한 일차부등식만 해당)
경우의 수 (합의 법칙·곱의 법칙)
두 사건이 동시에 일어나지 않으면 합, 연달아 일어나면 곱으로 경우의 수를 구한다
순열
n개에서 r개를 뽑아 순서대로 나열하는 경우의 수
조합
n개에서 r개를 순서 없이 뽑는 경우의 수
이항정리
(a+b)^n을 이항계수를 이용해 전개하는 정리
집합의 연산
합집합, 교집합, 여집합 등 집합 사이의 연산과 법칙
명제와 조건
명제의 참·거짓 판별, 역·이·대우의 관계, 충분·필요조건
함수의 뜻과 종류
정의역의 각 원소에 공역의 원소가 하나씩 대응하는 관계
합성함수
두 함수를 연결하여 한 함수의 출력이 다른 함수의 입력이 되는 새로운 함수
역함수
함수 f의 입출력을 뒤바꾼 함수로, f(a)=b이면 f⁻¹(b)=a
유리함수
다항함수의 비로 표현되는 함수로, 점근선을 가진다
무리함수
근호 안에 변수를 포함하는 함수로, 정의역에 제한이 있다
등차수열
인접한 두 항의 차가 일정한 수열
등비수열
인접한 두 항의 비가 일정한 수열
수열의 합 (등차)
등차수열의 첫째항부터 n째항까지의 합을 구하는 공식
수열의 합 (등비)
등비수열의 첫째항부터 n째항까지의 합을 구하는 공식
수학적 귀납법
도미노 원리를 이용해 자연수 전체에 대한 명제를 증명하는 방법
지수함수
밑이 양수인 거듭제곱 함수로, 급격한 증가 또는 감소를 나타낸다
로그함수
지수함수의 역함수로, 큰 수를 다루기 쉽게 만드는 함수
지수·로그 방정식
지수나 로그를 포함한 방정식을 풀기 위한 동치 변환
삼각함수
단위원 위의 점의 좌표로 정의되는 함수로, 모든 각도에 적용된다
삼각함수의 그래프
삼각함수를 좌표평면에 그린 주기함수 그래프의 특성
삼각함수의 덧셈정리
두 각의 합 또는 차에 대한 삼각함수 값을 각각의 삼각함수로 표현
사인 법칙
삼각형의 변과 대각의 사인 사이의 비례 관계
코사인 법칙
삼각형의 세 변과 한 각 사이의 관계로, 피타고라스 정리의 일반화
평면벡터
방향과 크기를 가진 양인 벡터의 덧셈과 스칼라곱
벡터의 내적
두 벡터의 방향 유사도를 나타내는 스칼라 연산
수열의 극한
수열 {aₙ}에서 n이 무한히 커질 때 aₙ이 수렴하는 값 L
급수
무한개의 항을 더한 합. 수렴할 수도 발산할 수도 있다
함수의 극한
x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 수렴하는 값 L
연속함수
함수가 점 a에서 끊기지 않고 이어지는 조건
미분계수
함수 f(x)의 x=a에서의 순간변화율 (접선의 기울기)
도함수
모든 점에서의 미분계수를 함수로 표현한 것
미분 공식
x^n의 도함수. 지수를 앞으로, 지수를 1 줄인다
미분의 응용 (증가/감소, 극값)
도함수의 부호로 함수의 증가/감소를 판단하고 극값을 찾는다
최대·최솟값
닫힌 구간에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법
접선의 방정식
곡선 위 한 점에서의 접선 방정식
부정적분
미분의 역연산. F'(x)=f(x)인 F(x)를 찾는 것
정적분
구간 [a,b]에서 f(x)의 정적분. 그래프 아래 부호 붙은 넓이
넓이 (정적분 활용)
곡선과 x축 사이의 실제 넓이를 정적분으로 구한다
여러 가지 수열의 합
자연수의 거듭제곱의 합을 닫힌 공식으로 구하는 방법
미적분의 기본 정리
미분과 적분이 역연산임을 보여주는 수학의 핵심 정리
확률의 덧셈정리
합집합의 확률. 겹치는 부분을 빼야 정확하다
조건부 확률
사건 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률
독립과 종속
두 사건이 독립이면 교집합 확률은 각 확률의 곱
이산확률변수
이산확률변수의 기댓값. 무한 반복 시 평균적으로 나오는 값
이항분포
n번 독립시행에서 성공 횟수의 확률분포
정규분포
종 모양의 대칭 분포. 자연현상 대부분이 따르는 확률분포
표본평균과 표준오차
표본평균의 분포. 표본 크기가 클수록 모평균에 가까워진다
신뢰구간
모평균이 포함될 것으로 기대하는 구간
모비율 추정
표본비율로 모비율의 신뢰구간을 추정한다
삼각함수 사이의 관계
단위원 위의 점의 좌표로부터 유도되는 삼각함수의 기본 항등식
직선의 방정식
평면 위 직선을 나타내는 일반형 방정식
원의 방정식
중심 (a,b), 반지름 r인 원의 방정식
도형의 이동 (평행이동, 대칭이동)
좌표평면에서 도형을 이동시키는 변환
이차곡선 (포물선, 타원, 쌍곡선)
원뿔을 자르는 방향에 따라 나타나는 세 가지 곡선
공간좌표와 공간벡터
3차원 공간에서 점의 좌표와 벡터의 표현
0승과 음의 지수
a의 0제곱은 1이고, 음의 지수는 역수를 의미한다
두 직선의 평행과 수직
두 직선의 기울기를 비교하여 평행·수직 관계를 판별하는 조건
선분의 중점
두 점을 잇는 선분의 정확한 가운데 점의 좌표 공식
삼각형의 무게중심
삼각형 세 꼭짓점 좌표의 산술 평균으로 구하는 무게중심의 좌표 (탐구 활동)
여러 가지 미분법
곱의 미분법, 몫의 미분법, 합성함수의 미분법을 종합적으로 다루기